22.45 |

MAKALAH PELAJARAN
LOGIKA INFORMATIKA
D
I
S
U
S
U
N
OLEH
1. INTAN NOVITA ROLANDYA ( 115 100 051 )
2. SURYANSI PRANATA ( 115 100 025 )
INSTITUSI / PRODI : STMIK / SI

images

Perguruan Tinggi Mitra Lampung
Jln. Zainal Abidin Pagar Alam No.7
Gedongmeneng
Bandar Lampung
Telp. ( 0721 ) 701418
Fax. ( 0721 ) 788960
KATA PENGANTAR

Puji dan syukur saya panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya lah saya dapat menyelesaikan Makalah ini tepat pada waktunya.
Adapun tujuan disusun nya makalah ini adalah dalam rangka memenuhi persyaratan mata kuliah “ Logika Informatika “
Saya menyadari sepenuhnya bahwa dalam pembuatan makalah ini masih memiliki kekurangan , baik dalam penyajian maupun dalam pembahasan. Karena itu saya mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan dan menghindari adanya kesalahan dalam pembuatan makalah pada masa yang akan datang.
Dalam menyelesaikan Makalah ini saya banyak mendapatkan kesulitan dan hambatan. Namun berkat dorongan dan bimbingan dari bebagai pihak maka makalah ini dapat saya selesaikan dengan baik.











Bandar Lampung, 27 Desember 2011
Penulis,





i
DAFTAR ISI

Kata Pengantar………………………………………………………………………….…….i
Daftar Isi………………………………………………………………………………….......ii


BAB 1             Dasar-Dasar Logika
1.1              Pendahuluan ……………………………………………...…….……1
1.2              Pengertian Umum Logika    …….………………………...…………2
1.2.1        Matematika Dan Filsafat      ……………...………….2
1.2.2        Matematika Dan Logika      …..………...…..……….2
1.2.3        Makna Logika Informatika ………………...….…...3
1.2.4        Pada Logika Fuzzy   ……….…………......………….3
1.2.5        Hubungan Matematika Dan logika …...….…………3
1.2.6        Logika Dan computer           …………...…..………...3
1.3              Logika Dan Pernyataan
1.3.1        Logika            ………….……………….......…………3
1.3.1.1  Pengertian Logika  ……......…………3
1.3.1.2  Gambaran Umum Logika    .………...4
1.3.1.3  Aliran Dalam Logik  ….……………4-5
1.3.2        Pernyataan (Proposisi)         …...…………………….5
1.4              Penghubung Kalimat            ….……………………………………...6
1.4.1        Nagasi             .………………………………………...7
1.4.2        Konjungsi      ……………………………...………….7
1.4.3        Disjungsi        ..……………………………...………...7
1.4.4        Implikasi        ..……………………………...………...8
1.4.5        Biimplikasi     ..……………………………...………8-9
1.5              Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan          .….…………...………...9
1.5.1        Negasi Suatu Konjungsi       .……………...…………9
1.5.2        Negasi Suatu Disjungsi         ……………...………….9
1.5.3        Negasi Suatu Implikasi         ..……………...……….10
1.5.4        Negasi Suatu Biimplikasi      ..……………...……….10
1.6              Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen      ...…………...….......10-11
1.7              Konvers, Invers, dan Kontraposisi              .………………...….11-12
1.8              Ingkaran Konvers, Invers, Kontraposisi    …..……………...…12-13
1.9              Ekuivalensi Logika   ………………………………………….....13-15
1.9.1        Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika           .........15-16
1.9.2        Peyederhanaan Logika         .………………...….16-17
1.10          Inverensi Logika                  
1.10.1    Argumen Valid Dan Invalid                        ….……...….18-19
1.10.2    Aturan Penarikan Kesimpulan       ….……...….20-23





BAB 2  Gerbang Logika atau Teknik Logika
2.1  Pendahuluan       …………………………………………………………….23-25
2.2  Pengertian Gebang Logika       …………………………………………….25-26
2.3  Rangkaian Terpadu ( IC )         ………………………………………………..27
2.4  Jenis-Jenis Rangkaian Gerbang Logika
                1  NOT GATE       …………………………………………………….27-28
                2  AND GATE       …………………………………………………….28-29
                3  OR GATE          ………………………………………………………..30
                4  NAND GATE    …………………………………………………….31-32
                5  NOR GATE       …………………………………………………….32-33
                6  EX-OR GATE   …………………………………………………….33-34
                7  EX-NOR GATE            …………………………………………………….34-35
2.5  Rangkuman        …………………………………………………………….35-36
Penutup          ………………………………………………………………………..37
Kritik Saran   ………………………………………………………………………..38
Daftar Pustaka ……………………………………………………………………...39



















ii
BAB I

DASAR-DASAR LOGIKA


1.1.PENDAHULUAN

            Logika disebut juga “the calculus of computer science” karena logika memegang peranan yang sangat penting di bidang ilmu komputer. Peran kalkulus (matematika) sama pentingnya untuk ilmu-ilmu bidang sains, misalnya ilmu fisika, ilmu elektronika, ilmu kimia, dan sebagainya. Oleh karena itu, biasanya pelajar, mahasiswa, guru, dan dosen setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan manusia sehari-hari.
            Logika, komputasi numerik, dan matematika diskrit memiliki peran penting dalam ilmu komputer karena semuanya berperan dalam pemrograman. Logika merupakan dasar-dasar matemtis suatu perangkat lunak, digunakan untuk memformalkan semantik bahasa pemrograman dan spesifikasi program, serta menguji ketepatan suatu program. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya logika matematika karena banyak ilmu, khususnya dalam bidang ilmu komputer, yang memerlukan logika untuk berkembang.
            Logika dalam ilmu komputer dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan syaraf tiruan, dan lain-lainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu contoh yang populer adlah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau  central processing unit.
            Logika matematika (mathematical logic) adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika.
            Logika matematika sendiri juga terus berkembang, mulai dari logika proposional, logika predikat, pemrograman logika, dan sebaganya. Perkembangan terakhir ilmu logika adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya.
            Dari penjelasan diatas bisa disimpulkan mengenai peran penting logika dalam ilmu komputer. Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas dari masalah logika. Oleh karena itu, logika matematika dipelajari secara formal di perguruan tinggi, khususnya dalam ilmu komputer sebagai matakuliah wajib selama 1 semester. Di indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi Informasi
Jade must be carved and polished before it becomes an ornament.Man must be educated before he can achieve great things.







1
1.2. PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a2+b2=c2 .

1.2.1 MATEMATIKA DAN FILSAFAT
Persamaan filsafat dan matematika
  • Kerja Filosof adalah berpikir konsep.
  • Kerja Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.
Perbedaan filsafat dan matematika
  • Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional.
  • Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

1.2.2. MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran.
Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

1.2.3. MAKNA LOGIKA INFORMATIKA
Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.
Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.
Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).






2
1.2.4. PADA LOGIKA FUZZY
  • Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).
  • Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.
  • Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.

1.2.5. HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA
Menurut RUDOLF CARNAP (1931)
  • Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.
  • Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni.
Menurut BETRAND RUSSEL
  • Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

1.2.6. LOGIKA DAN KOMPUTER
            Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.
            Program komputer berjalan di atas struktur  penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.


1.3  LOGIKA DAN PERNYATAAN


1.3.1 LOGIKA

1.3.1.1 PENGERTIAN LOGIKA

            Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.
            Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.
            Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.                                                                                                                                     




3
1.3.1.2 GAMBARAN UMUM LOGIKA
            Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).
            Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.
Logika Predikat  menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.
Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll.
Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.
Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya.  Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

1.3.1.3 ALIRAN DALAM LOGIKA
LOGIKA TRADISIONAL
  • Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM)
  • Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.

LOGIKA METAFISIS
  • Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)
  • Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI
  • Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).
  • Prisip dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS
  • Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)
  • Prinsipnya adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.





4

LOGIKA SIMBOLIS
  • Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.
  • Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole
  • Logika ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau salah.
  • Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.


1.3.1PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
  1. Yogyakarta adalah kota pelajar          (Benar).
  2. 2+2=4                                      (Benar).
  3. Semua manusia adalah fana    (Benar).
  4. 4 adalah bilangan prima                      (Salah).
  5. 5x12=90                                              (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
  1. Dimanakah letak pulau bali?.
  2. Pandaikah dia?.
  3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
  4. 3x-2y=5x+4.
  5. x+y=2.











5
1.4. PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.


Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol
Arti
Bentuk
¬
Tidak/Not/Negasi
Tidak………….
Ù
Dan/And/Konjungsi
……..dan……..
Ú
Atau/Or/Disjungsi
………atau…….
Þ
Implikasi
Jika…….maka…….
Û
Bi-Implikasi
……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
                 Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan simbol  p Ù q

Contoh 1.2 :
Misalkan  p: hari ini hari minggu
                 q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a.       Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
b.      Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
c.       Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
a.   Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q
b.   ¬p Ù¬q
c.    ¬(p Ù q)











6

1.4.1 NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

1.4.2 KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”

Contoh 1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi pÙq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.

1.4.3 DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.       INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh  :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

b.      EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
      p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
      q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
      p Ú q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.






7
1.4.4 IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.

Notasi pÞq dapat dibaca :
  1. Jika p maka q
  2. q jika p
  3. p adalah syarat cukup untuk q
  4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:
  1. p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p Þ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang  muslim.
  1. p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?
    1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
    2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
    3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
    4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

1.4.5 BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh 1.5 :
    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
    p Û q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.










8
TABEL KEBENARAN

P
q
Øp
Øq
pÚq
pÙq
pÞq
pÛq
p Å q
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
F
F
T
T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.


1.5. INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN

1.5.1 NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Suatu konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar  dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.
            Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”.
Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq)  ekuivalen dengan ØpÚØq

1.5.2 NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat  diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÚq) º ØpÙØq











9

1.5.3 NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh 1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

            Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :
pÞ q º ØpÚq
Maka negasinya
Ø( pÞ q) º Ø(ØpÚq) º pÙØq

1.5.4 NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

            Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga : Ø(p Û q) º Ø [(p Þ q) Ù (q Þ p)]
                              º Ø [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]
                                  º Ø (ØpÚq ) Ú Ø(ØqÚp)
                   Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)


1.6. TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.
            Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent).

Contoh 1.7 :
1.      Tunjukkan bahwa pÚ(Øp) adalah tautologi!

p
Øp
pÚ(Øp)
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T






10
1.Tunjukkan bahwa (pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)] adalah tautologi!

p
q
Øp
Øq
pÚq
Øp Ù Øq
(pÚq) Ú [(Øp) Ù (Øq)]
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T

d.      Tunjukkan bahwa (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)] adalah kontradiksi!

p
q
Øp
Øq
pÚq
Øp Ù Øq
(pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F

4. Tunjukkan bahwa [(pÙq) Þ r] Þ p          adalah contingent!  
   
p
q
r
pÙq
(pÙq) Þ r
[(pÙq) Þ r] Þ p        

T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
F


1.7. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! Ø  Ù  Ú  Þ  Û

“Jika suatu bender adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas adalah “p Þ q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.









11
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1.      KONVERS, yaitu q Þ p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.

2.      INVERS, yaitu Øp Þ Øq
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.

3.      KONTRAPOSISI, yaitu Øq Þ Øp
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.

Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan  invers dan konversnya.

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut

p
q
Øp
Øq
pÞq
q Þ p
Øp Þ Øq
Øq Þ Øp
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T


1.8.  INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Contoh 1.8:
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”

Penyelesaian

Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
        q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p Þ q atau jika menggunakan operator dan maka p Þ q ekuivalen(sebanding/») dengan  Øp Ú q. Sehingga








12
1.      Negasi dari implikasi
Implikasi               : (pÞq) » Øp Ú q
Negasinya : Ø(ØpÚq) » pÙØq
Kalimatnya            :“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera       tersebut tidak berwarna merah dan putih”.
2.      Negasi dari konvers
Konvers                 : qÞp » ØqÚp
Negasinya : Ø(ØqÚp) » qÙØp
Kalimatnya            : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.      Negasi dari invers
Invers                    : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq
Negasinya : Ø(pÙØq) » ØpÚq
Kalimatnya            : “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih”.
4.      Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi          : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp
Negasinya : Ø(qÚØp) » ØqÙp
Kalimatnya            : “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI”.



1.9. EKUIVALENSI LOGIKA

            Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Perhatikan pernyataan berikut :

Contoh 1.9 :
1. Dewi sangat cantik dan peramah.
2. Dewi peramah dan sanagt cantik.

Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :
A = Dewi sangat cantik.
B = Dewi peramah.
Maka ekspresi logikanya :
1. A Ù B
2. B Ù A





13
Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :
A
B
AÙB
BÙA
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :

Contoh 1.10 :
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun langkah-langkahnya :

1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.
    Misal : A=Badu pandai
                 B=Badu jujur
    Maka kalimatnya menjadi
    1. ØAÚØB
    2. Ø(AÙB)

2. Buat tabel kebenarannya

A
B
ØA
ØB
AÙB
ØAÚØB
Ø(AÙB)
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T

Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.







14
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi

ØAÚØB
Ø(AÙB)
ØAÚØB Û Ø(AÙB)
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T

Jika hasilnya adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis.

1.9.1         HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA

Identitas
pÙ1 º p     
pÚ0 º p
Ikatan     
pÚ1 º T
pÙ0 º 0
Idempoten
pÚp º p
pÙp º p
Negasi
pÚØp º 1
pÙØp º 0
Negasi Ganda
ØØp º p

Komutatif
pÚq º qÚp   
 pÙq º qÙp
Asosiatif
(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)
(pÙq)Ùr º pÙ(qÙr)
Distributif
pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)
pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
De Morgan’s
Ø(pÙq) º Øp Ú Øq
Ø(pÚq) º Øp Ù Øq
Aborbsi
pÙ(pÚq) º p
pÚ(pÙq) º p

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih singkat

Contoh 1.11 :
1.      Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp
Penyelesaian
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)
                                   º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)
                                   º Øp Ù (qÚØq)
                                   º Øp Ù T
                                   º Øp                       Terbukti








15
Dalam membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
  1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
  2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P.
  3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.

1.9.2         PENYEDERHANAAN LOGIKA

Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Contoh 1.12 :
1.      Øp Þ Ø(p Þ Øq)
º Øp Þ Ø(Øp Ú Øq)                                ingat pÞq º ØpÚq
º Ø(Øp) Ú Ø(Øp Ú Øq)                            ingat pÞq º ØpÚq
º p Ú (p Ù q)                                             Hk. Negasi ganda dan De Morgan
º (pÚp) Ù (pÚq)                                        Hk. Distributif
º pÙ(pÚq)                                                 Hk. Idempoten pÚp º p
º p                                                             Hk. Absorbsi
2.      pÚ(pÙq)
º (pÙ1) Ú(pÙq)                                         Hk.Identitas
º pÙ(1Úq)                                                 Hk.Distributif
º pÙ1                                                        Hk.Identitas Ú
º p                                                             Hk.Identitas Ù

3.      (pÞq) Ù (qÞp)
º (ØpÚq) Ù (ØqÚp)                                   ingat pÞq º ØpÚq
º (ØpÚq) Ù (pÚØq)                                   Hk. Komutatif
º [(ØpÚq)  Ùp] Ú [(ØpÚq)ÙØq]                Hk. Distributif
º [(pÙØp)Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú(qÙØq)] Hk. Distributif
º [0Ú(pÙq)] Ú [(ØpÙØq)Ú0]                     Hk. Kontradiksi
º (pÙq)Ú(ØpÙØq)                         Hk. Identitas









16
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent.

Contoh 1.13 :
1.      [(pÞq)Ùp]Þq
º [(ØpÚq)Ùp] Þ q                                    ingat pÞq º ØpÚq
º Ø[(ØpÚq)Ùp] Ú q                                   ingat pÞq º ØpÚq
º [(pÙØq)ÚØp] Ú q                                   Hk. Negasi ganda dan De Morgan
º [(pÚØp)Ù(ØqÚØp)] Ú q             Hk. Distributif
º [1Ù(ØpÚØq)] Ú q                                   Hk. Idempoten dan komutatif
º (ØpÚØq)Úq                                            Hk. Identitas
º ØpÚ(ØqÚq)                                            Hk. Assosiatif
º ØpÚ1                                                      Hk. Idempoten
º 1                                                             Hk. Identitas
Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.

2.      (pÚq) Ù [(Øp) Ù (Øq)]
º (pÚq)Ù(ØpÙØq)                                                
º [(pÚq)ÙØp]Ù[(pÚq)ÙØq]                                   Hk. Distributif
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú(qÙØq)]   Hk. Distributif
º [0Ú(qÙØp)]Ù[(pÙØq)Ú0]                                   Hk. Negasi
º (ØpÙq)Ù(pÙØq)                                     Hk. Idempoten
º (ØpÙp)Ù(qÙØq)                                     Hk. Assosiatif
º 0Ù0                                                                    Hk. Negasi
º 0                                                                         Hk. Idempoten
Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.

3.      [(pÚq)ÙØp] Þ Øq
º [(pÙØp)Ú(qÙØp)] Þ Øq                                    Hk. Distributif
º [0 Ú (qÙØp)] Þ Øq                                           Hk. Negasi
º (qÙØp) Þ Øq                                                    Hk. Identitas
º Ø(qÙØp) Ú Øq                                                   ingat pÞq º ØpÚq
º (ØqÚp) Ú Øq                                                      Hk. De Morgan
º (ØqÚØq)Úp                                                        Hk. Assosiatif
º ØqÚp                                                                  Hk. Idempoten
Hasilnya bukan 0 atau 1,  ekspresi logika di atas adalah contingent.








17
1.10   INFERENSI LOGIKA

1.10.1    ARGUMEN VALID DAN INVALID

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P1,  P2, .........,Pn yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebukonklusi (kesimpulan).
Secara umum di notasikan dengan
 


            P1,P2, ..........,Pn ├Q       atau dapat juga ditulis
Konklusi
 
 






Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn ├ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy)”.

Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).
Jadi suatu argumen dikatakan valid  jika dan hanya jika proposisi P1ÙP2Ù........ÙPn) Þ Q adalah sebuah Tautologi.

Contoh 1.14 :
1.      Premis
P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan    belajar   komputer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
      Q : Semua orang akan belajar komputer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
        q : Semua orang belajar komputer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
pÞq, p ├ q  (valid)











18
2.      Misal p : Saya suka kalkulus
             q : Saya lulus ujian kalkulus
    Maka argumen p Þ q, p ├ q dapat ditulis
    P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
    P2 : Saya lulus ujian kalkulus
    \ Saya lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1.      Tentukan premis dan konklusi argumen
2.      Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.
3.      Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
4.      Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah maka argumen tersebut tidak valid.

Contoh 1.15:
Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau invalid
a)      pÚ(qÚr), Ør ├ pÚq
b)      pÞ(qÚØr), qÞ(pÙr) ├pÞr

Penyelesaian
a)
Baris ke
p
q
r
qÚr
pÚ(qÚr)
(Premis)
Ør
(Premis)
pÚq
(konklusi)
1
T
T
T
T
T
F
T
2
T
T
F
T
T
T
T
3
T
F
T
T
T
F
T
4
T
F
F
F
T
T
T
5
F
T
T
T
T
F
T
6
F
T
F
T
T
T
T
7
F
F
T
T
T
F
F
8
F
F
F
F
F
T
F
Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua. Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid.

b) Silahkan Anda kerjakan!.










19
1.10.2    ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

A.    MODUS PONEN
Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi pÞq bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.
Modus Ponen : pÞq , p ├ q
atau dapat juga ditulis 
pÞq
p
――――
\ q

Contoh 1.16 :
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10
Digit terakhir suatu bilangan adalah 0
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Bilangan tersebut habis dibagi 10
    
B.     MODUS TOLLENS
Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : pÞq, Øq ├ Øp
Atau dapat juga ditulis
pÞq
Øq
――――
\ Øp

Contoh 1.17:
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10
Suatu bilangan tidak habis dibagi 10
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
\ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0













20
C.    PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung ”Ú”. Alasannya adalah karena penghubung ”Ú” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.
Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ”Ú”. Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”. Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition : p ├(pÚq) atau q ├ (pÚq)
Atau dapat ditulis
p                atau     q
――――                          ――――
\ pÚq                               \ pÚq

Contoh 1.18 :
Simon adalah siswa SMU
――――――――――――――――――――
\ Simon adalah siswa SMU atau SMP

D.    PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika beberapa kalimat dihubungkan  dengan operator ”Ù”, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).

Simplification : (pÙq) ├p atau (pÙq) ├ q
Atau dapat ditulis
pÙq            atau     pÙq
―――                  ―――
\ p                        \ q

Contoh 1.19 :
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat
―――――――――――――――――――――――――
\ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat













21
E.     SILOGISME DISJUNGTIF
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah memilih B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : pÚq, Øp ├q dan pÚq, Øq ├ p
Atau dapat ditulis
pÚq            atau     pÚq
Øp                         Øq
――――              ――――
\ q                        \ p

Contoh 1.20:
Saya pergi ke mars atau ke bulan
Saya tidak pergi ke mars
――――――――――――――――――
\ Saya pergi ke bulan


F.     SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi pÞq dan qÞr keduanya bernilai benar, maka implikasi pÞr bernilai benar pula.
Transitivity : pÞq , qÞr ├ pÞr
Atau dapat ditulis
pÞq
qÞr
―――――
\ pÞr

Contoh 1.21:
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur
Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor
―――――――――――――――――――――――――――――
\ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.














22
G.    KONJUNGSI
Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan menggunakan penghubung ”Ù” juga bernilai benar.

Konjungsi
p
q
――
\ pÙq


H.    DILEMA
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”Ú”, masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan  sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat diambil.
Dilema :
pÚq
pÞr
qÞr
―――
\r


BAB 2
GERBANG LOGIKA ATAU TEKNIK DIGITAL

2.1  PENDAHULUAN

        “Pada jaman sekarang ini, teknologi berkembang sangat pesat. Bermacam – macam alat dihasilkan Sekarang, hampir semua peralatan yang bekerja dengan tegangan listrik sudah menggunakan rangkaian digital. Saat ini rangkaian elektronika digital sudah bukan barang asing lagi. Rangkaian digital sudah ada di mana-mana dan bersinergi dengan rangkaian elektronika analog untuk membentuk rangkaian-rangkaian elektronika yang lebih cermat, cepat, dan tepat sasaran Sebenarnya, sebuah rangkaian digital tidak harus selalu berupa rangkaian rumit dengan banyak komponen kecil seperti yang kita lihat di dalam komputer, handphone, ataupun kalkulator. Sebuah rangkaian dengan kerja sederhana yang menerapkan prinsip-prinsip digital, juga merupakan sebuah rangkaian digital. Contoh rangkaian digital sederhana adalah rangkaian pengaman yang ditambahkan pada rangkaian kunci kontak sepeda motor atau mobil. Pada rangkaian pengaman terdapat kontak (berupa relay atau transistor) yang aktivitasnya dikontrol oleh pemilik sepeda motor. Kontak pengaman ini harus dihubungkan seri dengan rangkaian kunci kontak. Akibatnya, walau kunci kontak terhubung, sepeda motor tidak dapat distarter jika kontak pengaman ini masih terbuka. Cara ini cukup manjur untuk menghindari pencurian sepeda motor.


23
                 Gerbang (gate) dalam rangkaian logika merupakan fungsi yang menggambarkan hubungan antara masukan dan keluaran. Untuk menyatakan gerbang-gerbang tersebut biasanya digunakan simbol-simbol tertentu. Ada beberapa standar penggambaran simbol. Salah satu standar simbol yang populer adalah MIL-STD-806B yang dikeluarkan oleh Departemen Pertahanan Amerika Serikat untuk keperluan umum pada bulan Februari 1962. Untuk menunjukkan prinsip kerja tiap gerbang (atau rangkaian logika yang lebih kompleks) dapat digunakan beberapa cara.

 Cara yang umum dipakai antara lain adalah tabel kebenaran (truth table) dan diagram waktu (timing diagram). Karena merupakan rangkaian digital, tentu saja level kondisi 2 yang ada dalam tabel atau diagram waktu hanya dua macam, yaitu logika 0 (low, atau hight) dan logika 1 (atau False, atau true).
Kondisi lain yang mungkin ada adalah kondisi X (level bebas, bisa logika 1 atau 0), dan kondisi high impedance (impedansi tinggi). Kondisi X biasanya ada di masukan gerbang dan menyatakan bahwa apa pun logika masukannya (logika 0 atau 1) tidak akan mempengaruhi logika keluaran yang dihasilkan. (Hodges D. , Jacson, Nasution S).”
             “Kondisi impedansi tinggi pada suatu titik (point) menunjukkan titik yang bersangkutan diisolasi dari rangkaian lain, sehingga tidak ada logika yang akan mempengaruhi titik tersebut gerbang dan rangkaian logika juga dapat diimplementasikan dalam bentuk rangkaian dioda, transistor, ataupun rangkaian terpadu yang disebut integrated circuit (IC). Dengan semakin majunya teknologi pembuatan komponen mikro-elektronika, perkembangan komponen IC untuk rangkaian digital menjadi pesat. IC logika jenis TTL (Transistor- Transistor Logic) dan CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) cukup populer di kalangan masyarakat penggemar elektronika. Walaupun sudah mulai berkurang, jenis IC tersebut masih banyak digunakan hingga saat ini. Dalam mengimplementasikan rangkaian digital, kita juga dapat mengunakan Electronics Workbench (EWB) diteliti untuk diaplikasikan sebagai program.

simulasi bagi alat-alat elektronik yang dirancang. Dalam hal ini diteliti mengenai seberapa akurat respons yang diperoleh dari simulasi EWB dibandingkan dengan respons dari beberapa alat elektronik real dan juga seberapa banyak jenis alat elektronik yang dapat disimulasikan atau seberapa banyak jenis komponen atau rangkaian terintegrasi yang terdapat dalam EWB. Aplikasi EWB ini diharapkan dapat menjembatani kesenjangan antara teori dan praktek seperti disebut di atas. Biasanya pada suatu karya tulis ilmiah mengenai perancangan dan penganalisaan suatu alat elektronik hanyalah didasarkan pada studi literatur dan tidak melalui suatu pembuktian praktis. Pembuktian dengan komponen-komponen dan rangkaian-rangkaian terintegrasi fisik selain membutuhkan biaya pengadaan yang tinggi (untuk jenis dan jumlah besar), juga sering terjadi kerusakan pada komponen-komponen fisik tersebut. Penggunaan EWB dapat mengatasi kelemahan-kelemahan perangkat keras di atas dan membangkitkan kepercayaan diri para mahasiswa bahwa alat elektronik yang dirancang dapat bekerja seperti yang dikehendaki.







24
         Penelitian ini dibatasi dengan menguji coba alat elektronik analog, yang dirancang dan dianalisa oleh mahasiswa Jurusan Teknik Elektro untuk mata ajaran Analisa dan Perancangan. Penelitian ini bertujuan untuk menyelidiki keakuratan respons yang diperoleh dari simulasi EWB dibandingkan dengan respons secara fisik dan teoritis dari alat elektronik yang dipilih, yakni suatu alat elektronik analog dan berapa banyak jenis komponen atau rangkaian terintegrasi yang terdapat dalam EWB Transmitter vibrasi adalah alat yang dapat mengukur level dan komponen frekuensi dari vibrasi mesin secara elektronik serta dapat mengirimkan data-data itu ke ruang pemantauan sejauh 100 m dari alat tersebut. Transmitter vibrasi ini menggunakan suatu transduser vibrasi yang disebut akselerometer piezoelektrik / AP (piezoelectric accelerometer) dan terdiri dari penguat depan muatan, penguat instrumentasi, penguat tegangan tak membalik dua tingkat, filter lolos bawah, filter lolos pita, dan pengubah tegangan ke arus.

 Dengan software tersebut, kita dapat merancang dan menyimulasi rangkaian di komputer PC, Perancangan rangkaian dapat kita lakukan dengan cara skematis, yang menggunakan simbol-simbol layaknya menggambar rangkaian digital di kertas. Atau dengan bahasa VHDL (Visual Hardware Description Language) dan Verilog yang lebih sulit.”. (Boylestad, Robert dan Louis Nashelsky)

2.2  PENGERTIAN Gerbang Logika (Logic Gate)
Menurut Ibrahim (1996) Gerbang Logika adalah piranti dua-keadaan: keluaran
dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (rendah) dan keluaran dengan tegangan tetap
yang menyatakan logika 1 (tinggi). Gerbang logika ini dapat digunakan untuk
melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya AND, OR, NOT, NAND, NOR, EX-OR
atau EX-NOR yang mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai
salah satu dari dua keadaan logika, yaitu 0 dan 1.
GERBANG

LOGIKA
 
 


Input 1
                                                                                            Output
Input 2

Dasar-dasar teoretis daripada rangkaian digital adalah pemakaian bilanganbilangan
Biner (2 BIT) beserta operasi-operasinya yang meliputi: penjumlahan dan
pengurangan, perkalian dan pembagian serta konversi terhadap sistem bilangan lainnya
seperti desimal, oktal dan heksadesimal yang terutama digunakan dalam sistem
komputer.Di dalam praktek, operasi-operasi ini dilakukan dengan sistem kombinasi di
mana susunan rangkaian-rangkaian logika yang membentuk suatu sistem operasi yang
digunakan dalam komputer. Biasanya rangkaian-rangkaian sejenis ini disebut rangkaian
digital.
Untuk menyatakan hubungan antara input dengan output dari suatu rangkaian logika
pada berbagai variasi keadaan inputnya digunakan tabel kebenaran (truth table).


25
Lambang/simbol beberapa unsur logika diperlihatkan pada Gambar 5-1.


Gambar 5-1. Lambang/Simbol beberapa unsur logika
Keterangan:
BSI : British Standards Institute
DIN : Deutsche Industrie Norm
ASA : American Standards Association



26
2.3 Rangkaian Terpadu (IC) Untuk Gerbang -Gerbang Dasar

            “Setelah mengenal gerbang-gerbang dasar yang digunakan dalam teknik digital, bagi para pemula mengkin saja timbul pertanyaan dimana gerbang-gerbang ini dapat diperoleh? Jawabannya mudah sekali, karena gerbang- gerbang ini telah dijual secara luas dipasaran dalam IC tunggal (single chip). Yang perlu diperhatikan sekarang adalah dari jenis apa dan bagaimana penggunaan dari kaki-kaki IC yang telah didapat. Sebenarnya informasi dari IC-IC yang ada dapat dengan mudah ditemukan dalam buku data sheet IC yang sekarang ini banyak dijual. Namun sedikit contoh berikut mungkin akan me mpermudah pencarian. Berikut adalah keterangan mengenai IC-IC yang mengandung gerbang-gerbang logika dasar yang dengan mudah dapat dijumpai dipasaran.
Catatan:
  • Ada dua golongan besar IC yang umum digunakan yaitu TTL dan CMOS.
  • IC dari jenis TTL memiliki mutu yang relatif lebih baik daripada CMOS dalam hal daya yang dibutuhkan dan kekebalannya akan desah.
  • IC TTL membutuhkan catu tegangan sebesar 5 V sedangkan CMOS dapat diberi catu tegangan mulai 8 V sampai 15 V. Hali ini harus diingat benar-benar karena kesalahan pemberian catu akan merusakkan IC.
  • Karena adanya perbedaan tegangan catu maka tingkat tegangan logika juga akan berbeda. Untuk TTL logika satu diwakili oleh tegangan sebesar maksimal 5 V sedangkan untuk CMOS diwakili oleh tegangan yang maksimalnya sebesar catu yang diberikan, bila catu yang diberikan adalah 15 V maka logika satu akan diwakili oleh tegangan maksimal sebesar 15 V. Logika pada TTL dan CMOS adalah suatu tegangan yang harganya mendekati nol.
  • Untuk TTL nama IC yang biasanya terdiri atas susunan angka dimulai dengan angka 74 atau 54 sedangkan untuk CMOS angka ini diawali dengan 40.”(Ian Robertson Sinclair, Suryawan)


2.4   JENIS – JENIS RANGKAIAN GERBANG LOGIKA
1.      NOT GATE
“Gerbang NOT atau juga bisa disebut dengan pembalik (inverter) memiliki fungsi membalik logika tegangan inputnya pada outputnya. Sebuah inverter (pembalik) adalah gerbang dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana keadaan keluaranya selalu berlawanan dengan keadaan masukan. Membalik dalam hal ini adalah mengubah menjadi lawannya. Karena dalam logika tegangan hanya ada dua kondisi yaitu tinggi dan rendah atau “1” dan “0”, maka membalik logika tegangan berarti mengubah “1” menjadi "0” atau sebaliknya mengubah nol menjadi satu. Simbul atau tanda gambar pintu NOT ditunjukkan pada gambar dibawah ini.



27
Fungsi NOT dapat digambarkan dengan  rangkaian seperti gambar dibawah ini:
Y =  A
 
Jika saklar dibuka maka   berlogika 0, jika saklar ditutup disebut berlogika 1.
                                                                                     RUMUS :

Simbol Fungsi NOT                                   Tabel Kebenaran
INPUT
OUTPUT
A
Y
0
1
1
0
Karakteristik: Jika adalah input, output adalah kebalikan dari input. Artinya Jika input berlogika 1 maka output akan berlogika 0 dan sebaliknya.          
2.      AND GATE
Gerbang AND (AND GATE) atau dapat pula disebut gate AND ,adalah suatu rangkaian logika yang mempunyai beberapa jalan masuk (input) dan hanya mempunyai satu jalan keluar (output). Gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Dalam gerbang AND, untuk menghasilkan sinyal keluaran tinggi maka semua sinyal masukan harus bernilai tinggi.






28
Gerbang AND dapat digambarkan dengan rangkaian listrik menggunakan saklar seperti dibawah ini:
 


                                                                                    Keterangan:                         
                                                                                    A & B adalah saklar   
                                                                                    Y adalah lampu
Jika saklar dibuka maka berlogika 0, jika saklar ditutup disebut  berlogika 1. Fungsi logika yang dijalankan rangkaian AND adalah sebagai berikut:
1.      Jika kedua saklar A & B dibuka maka lampu padam
2.      Jika salah satu dalam keadaan tertutup maka lampu padam
3.      Jika kedua saklar tertutup maka lampu nyala

Simbol Gerbang AND                                      Tabel Kebenaran
INPUT
OUTPUT
A
B
Y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

Karakteristik: Jika A da B adalah input, sedangkan Y adalah Output, maka output gerbangnya AND berlogika 1 jika semua inputnya berlogika 1. Dan output berlogika 0 jika kedua atau salah satu inputnya berlogika 0.



29
3.      OR GATE
Gerbang OR berbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah.

Funsi OR dapat digambarkan dengan rangkaian seperti dibawah ini.
                                                                       
Keterangan:
A dan B =Saklar
                                                                                    Y= lampu
Jika saklar dibuka maka berlogika 0, jika saklar ditutup disebur berlogika 1.
Simbol Gerbang OR                               Tabel kebenaran
INPUT
OUTPUT
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

Karakteristik: Jika A dan B adalah input sedangkan Y output maka output gerbang OR akan berlogika 1 jika salah satu atau kedua input adalah berlogika 1

.
                                                                                                                           30
4.      NAND GATE
NAND GATE adalah rangkaian dari NOT AND dan gate yang diberikan invertor pd outputnya. Gerbang NAND merupakan gabungan dari NOR dan AND digambarkan sebagai berikut:
Menjadi:
                         
                                                                        NAND sebagai sakelar




Dari Gambar diatas dapat dibuat tabel kebenaran sebagai berikut:
C
Output
A
B
Y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0


                                                                                                                           31
Karakteristiknya: Jika A dan B input sedangkan Y adalah output maka output gerbang NAND akan berlogika 1 jika salah satu inputnya berlogika 0. Dan output akan berlogika 0 jika kedua inputnya berlogika 1. Atau output gerbang NAND adalah komplemen output gerbang AND.
5.      NOR GATE
NOR adalah singkatan dari NOT OR, atau suatu fungsi OR yang dibalikkan sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukanya bernilai rendah.
Gerbang NOR merupakan gabungan dari gerbang NOT dan OR. Digambarkan sebagai berikut:

              

menjadi:

              

                                                                           NOR dengan saklar







32
Dari rangkaian diatas dapat dibuat tabel kebenaran sebagai berikut:

Input
Output
A
B
Y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

Karakteristik: jika A dan B adalah input dan Y adalah output maka output gerbang NOR berlogika 1 jika semua input berlogika 1 dan output akan berlogika 0 jika salah satu atau semua inputnya berlogika 0. Atau output gerbang NOR merupakan output gerbang OR
6.      EX-OR (Exlusive OR) GATE
Gerbang EX-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi atau dengan kata lain bahwa EX-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai sama semua.
Rangkaian EX-OR disusun dengan menggunkan gerbang AND, OR, NOT seperti dibawah ini.
Simbol Gerbang EX-OR :
Text Box: Y= A.B + A.B = A + B              




33
Dari gambar diatas dapat dibuat tabel kebenaran sebagai berikut:

Input
Output
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0

7.       EX-NOR GATE
Gerbang EXNOR merupakan ingkaran dari gerbang EXOR. Gerbang ini akan
memberikan keluaran 1 jika masukan-masukannya mempunyai keadaan yang sama dan
sebaliknya akan memberikan keluaran 0 jika masukan-masukannya mempunyai
keadaan yang berbeda .
Rangkaian EX-NOR disusun dengan menggunka gerbang AND, OR, NOT seperti dibawah ini.

Simbol Gerbang EX-NOR
   





34
Dari gambar diatas dapat dibuat tabel kebenaran sebagai berikut:

Input
Output
A
B
Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

2.5              Rangkuman
Gerbang (gate) dalam rangkaian logika merupakan fungsi yang menggambarkan hubungan antara masukan dan keluaran. Untuk menyatakan gerbang-gerbang tersebut digunakan simbol-simbol tertentu. Untuk menunjukan prinsip kerja tiap gerbang (rangkaian logika yang lebih kompleks) dapat digunakan beberapa cara. Cara yang umum dipakai antara lain adalah tabel kebearan (truth table) dan diagram waktu (timing chart). Karena merupakan rangkaian digital, tentu saja level kondisi yang ada dalam tabel atau diagram waktu hanya 2 macam yaitu logika 0 (low atau false) dan logika 1 (high atau true). Jenis gerbang yang dipakai dalam rangkaian logika cukup banyak . Namun semuanya disusun atas kombinasi dari tiga gerbang dasar. Ketiga gerbang dasar itu adalah gerbang AND, OR dan NOT. Seperti contoh sebelumnya, gerbang AND identik dengan rangkaian seri dari beberapa saklar (yang berfungsi sebagai masukan) dan sebuah lampu (yang berfungsi sebagai keluaran). Pada rangkaian seri, lampu hanya dapat menyala (berlogika 1) jika semua saklar dalam keadaan tertutup (berlogika 1). Jika ada satu saklar (berlogika 0), lampu akan padam (berlogika 0).
Dengan penggambaran diatas gerbang AND memiliki minimal 2 masukan dan hanya satu keluaran. Gerbang OR identik dengan rangkaian paralel dari beberapa saklar.

35
Pada rangkaian paralel, lampu sudah dapat menyala (berlogika 1), jika salah satu saklar ditutup (berlogika 1). Lampu hanya padam (berlogika 0), jika semua saklar dalam kondisi terbuka (berlogika 0). Jadi gerbang OR juga memiliki minimal 2 masukan dan hanya satu keluaran.
Gerbang NOT sedikit berbeda dengan 2 gerbang sebelumnya. Ia hanya memiliki satu masukan dan satu keluaran. Jika masukan berlogika, keluaranya akan berlogika 0. Sebaliknya jika masukan berlogika 0, keluaranya akan berlogika 1. Kaarena itulah gerbang NOT sering disebut sebagai gerbang pembalik (inverter) logika.
Dalam bentuk nyata rangkaian dapat disusun dari sebuah relay dengan kontak NC (Normally Closed/dalam keadaan normal tertutup) yang kontaknya tertutup saat arus listrik tidak melalui kumparan relay. Saat saklar dibuka (berlogika 0), kontak relay NC akan tertutup, sehingga arus listrik mengalir ke lampu dan membuatnya  menyala (berlogika 1). Sebaliknya saat di tutup (berlogika 1), kumparan relay yang dialiri arus akan menarik kontak NC dan membuatnya terbuk. Akibatnya tidak ada arus yag mengalir ke lampu dan lampu menjadi padam (berlogika 0).
Ketiga gerbang tersebut diatas dapat digabung-gabungkan menjadi gerbang lain, misalnya gerbang NAND, NOR, EX-OR, EX-NOR dan lain sebagaiya. Untuk rangkaian yang lebih kompleks, gerbang-gerbang dasar dapat disusun menjadi rangkaian Adder (penjumlah), Demultiplekser (pengubah data dari serial input menjadi paralel output, Multiplekser (pengubah data dari paralel input menjadi serial output). Selain itu rangkaian logika juga dapat di implementasikan dalam bentuk IC (Integrated Circuit) dalam jenis TTL (Transistor-transistor Logik) maupun CMOS (Complementary Metal Oxide Semikonduktor). Tiap-tiap anggota keluarga mempunyai konfigurasi sendiri-sendiri. Misalnya IC TTL 7404 mengandung 6 gerbang NOT, IC TTL 7432 mengandung 4 gerbang OR. Selain gerbang-gerbang tunggal semacam itu ada juga yag konfigurasinya lebih komplek dan berisi rangkaian-rangkaian seperti Flip-flop, Counter, Encoder, Decoder, yang masing-masing mempunyai banyak varian dengan masing-masing spesifikasinya.
36
PENUTUP
Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.



















37
KRITIK DAN SARAN

*      Kurangnya referensi pembahasan materi
*      Terbatasnya pengetahuan dalam pembahasan materi
*      Informasi mengenai materi tidak tersedia dengan lengkap
*      Pembahasan yang tidak sempurna




















38
DAFTAR PUSTAKA

Rikunto, S. (1982). Dasar-dasar logika.Jakarta: Rinekata.
Thales. (1991). Ilmuan Geoetri,Filosofi/Penalaran Deduktif. Jakarta: Rineka Cipta.
 Betrand Russel. (1989). Ilmuan Matematika. Bandung: Jica UPI
Surya, Y. (2006). Matematika itu Asyik 5A. PT. Arman Delta Selaras.
Aristoteles (1992). Logika Informatika. Bandung: Bina Rosdakarya.
Albert Paul Malvino, Ph.D. (1990). Gerbang-gerbang Logika. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.
Departeman Pertahanan Amerika Serikat. (1962).Gerbang(gate)/Rangkaian Logika. New York: Universitas Pendidikan Amerika Serikat .









  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Diposting oleh Unknown

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)