| Intan Novita Rolandya

22.39 |

MAKALAH

ALJABAR LINEAR, MATRIKS ,VEKTOR

OLEH

Nama : INTAN NOVITA ROLANDYA

NPM : 115 100 051

Prodi : Sistem Informasi (SI)

Thn.Ajaran 2011/2012

PERGURUAN TINGGI MITRA LAMPUNG

Jl. Zainal Abidin Pagar Alam no.7 Gedongmeneng

Bandar Lampung

Telp:(0721) 701418, 70628, 788960

Fax.( 0721)-788960

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur saya panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-Nya lah saya dapat menyelesaikan Makalah ini tepat pada waktunya.

Adapun tujuan disusun nya makalah ini adalah dalam rangka memenuhi persyaratan mata kuliah “ Aljabar Linear “

Saya menyadari sepenuhnya bahwa dalam pembuatan makalah ini masih memiliki kekurangan , baik dalam penyajian maupun dalam pembahasan. Karena itu saya mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan dan menghindari adanya kesalahan dalam pembuatan makalah pada masa yang akan datang.

Dalam menyelesaikan Makalah ini saya banyak mendapatkan kesulitan dan hambatan. Namun berkat dorongan dan bimbingan dari bebagai pihak maka makalah ini dapat saya selesaikan dengan baik.

Bandar Lampung, 15 Juni 2012

Penulis,

DAFTAR ISI

Kata Pengantar………………………………………………………………………….…….i

Daftar Isi………………………………………………………………………………….......ii

BAB I Aljabar Linear

A. Pengertian SPL (Sistem persamaan linear .........………...……......hal.1

B. Bentuk-Bentuk SPL secara Luas ….…………………...…..hal.2-3

C. Macam-macam bentuk SPL ...........……………...……hal.3-4

D. Metode Penyelesaian SPL ..........................................hal.4-8

BAB II Vektor

A. Pengertian Vektor ..........................................................hal.9

B. Notasi Vektor ..........................................................hal.9

C. Kesamaan Dua Vektor ..........................................................hal.9

D. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Vektot ................................hal.10

E. Sifat-Sifat Penjumlahan 2 Vektor ............................................hal.10

F. Vektor Basis dalam bidang ........................................................hal.11

BAB III Matriks

A. Pengertian Matriks ....................................................................hal.12

B. Aljabar matrik elementer ........................................................hal.12

C. Jenis-jenis Matrik dan Vektor ..................................................hal.13-17

D. Operasi Matrik Penjumlahan ........................................................hal.17

E. Teorema 1 ................................................................................hal.18

F. Teorema 2 ..........................................................................hal.18-19

G. Teorema 3 ................................................................................hal.19

H. Determinan ................................................................................hal.20

I. Teorema 4 ..........................................................................hal.20-21

J. Invers ..........................................................................hal.21-23

Penutup ........................................................................................................hal.24

Lampiran ........................................................................................................hal.25

Kritik Saran ........................................................................................................hal.26

Daftar Pustaka ........................................................................................................hal.27

BAB I

Persamaan linear

A. Pengertian Persamaan Linear

Persamaan Linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/FuncionLineal02.svg/220px-FuncionLineal02.svg.png

Graph of equation (1) and (2) showing the intersection of the lines.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

$y = mx + b.\,$

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu -

. Persamaan lain, seperti

³,

^1/2, dan

bukanlah persamaan linear.

B. Bentuk-Bentuk SPL (Sistem Persamaan Linear) secara luas / menyeluruh :

1. Bentuk Umum

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus c/b.

2. Bentuk standar

$ax + by = c,\,$

di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

3. Bentuk titik potong gradien

Sumbu-y

$y = mx + b,\,$

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

Sumbu-x

$x = \frac{y}{m} + c,\,$

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

C. Macam – Macam Sistem Persamaan Linear :

1. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear dengan satu variabel sangat mudah untuk dipahami, terlebih lagi kita dapat melihat nya di dalam hukum aljabar yang mengubah bentuk aljabar menjadi lebih sederhana.

Contoh :

A ). 2x = 10 B ). 5x = 3

x =

x = 5

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.

Contoh :

a. 2x - y = 2 b. -8x + y = 10

3x - 2y = 1 4x + 2y = 5

3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.

Contoh :

a. x + y + 2z = 9

2y – 7z + x = -17

3x + 6y – 5z = 0

D. Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier, yaitu :

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x + y – z = 1 ( 1 )

8x + 3y – 6z = 1 ( 2 )

-4x – y + 3z = 1 ( 3 )

1. Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x + y – z = 1 ( 1 )

-4x – y + 3z = 1 + ( 3 )

-3x + 2z = 2 ( 4 )

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x + y – z = 1 x3 3x + 3y – 3z = 3 ( 1 )

8x + 3y – 6z = 1 x1 8x + 3y – 6z = 1 ( 2 )

-5x + 3z = 2 ( 5 )

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

-3x + 2z = 2 x3 -9x + 6z = 6 ( 4 )

-5x + 3z = 2 x2 -10x + 6z = 4 ( 5 )

x = 2 ( 6 )

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

-3(2) + 2z = 2 ( 4 )

2z = 2 + 6

2z = 8

z =

z = 4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.

2 + y – 4 = 1 ( 1 )

y = 1 – 2 + 4

y = 3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y =3, z= 4

2 . Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z ( 1 )

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8x + 3y – 6z = 1 ( 2 )

8(1 – y + z) + 3y – 6z = 1

8 – 8y + 8z + 3y – 6z = 1

-5y + 2z = 1 – 8

-5y + 2z = –7 ( 4 )

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

-4x – y + 3z = 1 ( 3 )

-4(1 – y + z ) – y + 3z = 1

-4 + 4y – 4z – y + 3z = 1

3y – z = 1 + 4

3y –z = 5 ( 5 )

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5 (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

5y + 2z = – 7 ( 4 )

5y + 2(3y – 5 ) = – 7

5y + 6y – 10 = – 7

y = – 7 + 10

y = 3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z = 3( 3 ) – 5 ( 6 )

z = 9 – 5

z = 4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x = 1 – 3 + 4

x = 2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas x = 2, y = 3, z = 4.

3. Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

BAB II

VEKTOR

A. Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya yaitu gaya,kecepatan,percepatan dan lain-lain.

Ada 2 macam Besaran, yaitu :

1. Besaran Skalar ialah Besaran yang hanya mempunyai nilai saja

2. Besaran Vektor ialah Besaran yang mempunyai nilai dan arah.

B. Notasi Vektor

Vektor ini dinyatakan dengan Notasi , , , a, atau dibaca “Vektor AB’. Titik A disebut pangkal (titik awal) dan B disebut titik ujung (terminal). Panjang dari titik A ke B menunjukan besar Vektor dan arah panah menunjukan arah vector.

C. Kesamaan Dua Vektor

Vektor dikatakan sama apabila Vektor A sama panjang nya dengan Vektor B

Vektor A sama arah nya dengan Vektor B

Keterangan Gambar :

Arah AB mewakili vektor

searah dengan DC yang mewakili vektor

Arah BC mewakili vektor

searah dengan DA yang mewakili vektor

D. Penjumlahan dan Pengurangan 2 vektor

Jika

, dimana vektor

disebut Vektor Resultan.

Penjumlahan 2 Vektor

Contoh :

– 2

Pengurangan 2 Vektor

Contoh :

9- 12 =9+ (-12)

-3 = -3

– 2

–

-3

E. Sifat-sifat penjumlahan 2 vektor

1) Komutatif :

Asosiatif :

Unsur Identitas :

Lawan Vektor :

C =

F. Vektor Basis Dalam Bidang

~Bilangan X dan Y disebut sebagai komponen

dan bilangan itu berpandang dengan titik koordinat.

~ Vektor

dan

sebagai Vektor Basis di dalam bidang atau di R2 arah sumbu X positif dan Y positif serta panjang

masing-masing sama sehingga

sebagai vektor satuan dalam arah sumbu X dan

sebagai vektor satuan dalam arah sumbu Y.

G. Sistem Koordinasi dalam Bidang

Sisitem koordinasi dalam bidang adalah ruang berdimensi 2 atau R2 yang dinyatakan dengan adanya dua buah sumbu yang saling berpotongan tegak lurus. Sebuah titik P dalam system koordinat cartesius berkorespondennsi dengan pasangan bialangan terurut (x,y). koordinat (x,y) menentukan jarak serta arah titik P terhadap sumbu x dan sumbu y. bilangan pertama x disebut absis dan bilangan kedua y disebut kordinat. .

BAB III

MATRIKS

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah Susunan Bilangan berbentuk persegi panjang atau pesergi dalam tanda kurung yang terdiri dari baris dan kolom.

Bilangan dalam posisi mendatar atau horizontal disebut Baris, sedang susunan tegak atau vertikal disebut kolom.Setiap Bilangan pada Baris dan Kolom di sebut Elemen atau Anggota Matriks. Matriks diberi nama atau dinotasikan dengan menggunakan huruf kapital,sedangkan elemennya di beri nama atau huruf kecil.Ordo suatu matriks dinotasikan degan m x n,dengan m=banyaknya baris dan n=banyaknya kolom.

CONTOH :

a b=Baris ke-1, c d=Baris ke-2, a c=Kolom ke-1,

b d=Kolom ke-2, a,b,c,d,adalah elemen matriks A.

Pada contoh Matrik A berordo 2x2

B. Aljabar Matrik Elementer

Matrik A berukuran mxn ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran mxn, sebagai berikut:

atau A = (aij)

Untuk menyatakan elemen matrik A yang ke (i,j), yaitu aij, digunakan notasi (A)ij . Ini berarti aij = (A)ij.

Bila m = n, matrik dinamai matrik bujur sangkar berukuran m.

Matrik berukuran mx1 disebut vektor kolom dan berukuran 1xn disebut vektor baris.

Contoh:

a = , suatu vektor kolom, ai menyatakan komponen a ke i.

b =, suatu vektor baris, bi menyatakan komponen b ke i.

(A)i. menyatakan vektor baris ke i matrik A.

(A).j menyatakan vektor kolom ke j matrik A.

Latihan 1

Berdasarkan matrik A seperti yang tercantum pada definisi, sebutkan elemen-elemen matrik berikut:

(A)i. , (A)1. , (A)2 , (A)m. , (A).j , (A).1 , (A).2 , (A).n

C. Berbagai jenis matrik dan vektor :

1. Matrik Bujursangkar

Matriks Bujursangkar Adalah matrik yag berjumlah baris dan kolomnya sama

Contoh :

A₂.₂ =

B₃.₃ =

2. Matrik Baris

Matrik Baris Adalah Matriks yang hanya terdiri satu baris saja.

Contoh :

A = [ 2 5 7 ]

B = [ 1 2 3]

3. Matrik Nol

Matrik Nol Adalah matriks yang semua elemennya adalah nol.

Contoh :

P =

Q =

4. Matrik Identitas

Matrik Identitas adalah matriks bujur sangkar yang elemen diagonal utamanya satu(1) dan elemen lainnya nol (0)

Contoh :

I₂.₂ =

I₃.₃ =

5. Matrik Diagonal

Elemen diagonal matrik A ialah a11, a22, … , amm , khusus untuk matrik bujur sangkar; dan vektor a dengan m komponen adalah sebagai berikut :

a =

Bila semua elemen selain a11, a22, … , amm bernilai 0, A disebut matrik diagonal.

A = diag (a11, a22, … , amm) menyatakan matrik diagonal dengan elemen diagonal a11, a22, … , amm.

Bila aii = 1 untuk i = 1, 2, … , m, maka A disebut matrik identitas berukuran m, dinotasikan Im atau I.

DA = diag (a11, a22, … , amm) dan Da = diag (a1, a2, … , am)

DA = Da =

Bila A = diag (a1, a2, … , am) dan b skalar, maka Ab = diag .

6. Matrik Segitiga

Matrik segitiga ialah matrik dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai 0. Matrik segitiga terdiri dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah. Segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (misal dinamai P) dan segitiga bawah (misal dinamai Q) adalah sebagai berikut :

P = Q =

Bila A = Im , maka terdapat vektor e1, e2, … em, masing-masing menyatakan suatu vektor dengan komponen ke 1, 2, … m bernilai 1 dan komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan sebagai berikut :

= = =

Vektor 0, Vektor 1 dan Matrik 0

0 menyatakan skalar bernilai 0.

0 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 0.

(0) menyatakan matrik dengan semua elemen bernilai 0.

1 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 1.

1m menyatakan vektor berukuran m komponen yang semuanya bernilai 1.

Latihan 2

Diketahui : A = , a = , b = 6.

Tulislah elemen matrik berikut : - DA , Da , A = diag (a11, a22, … , amm), dan Ab

- matrik segitiga atas dan segitiga bawah yang berkaitan dengan A

- (A)1. , (A)2. , (A)4. , (A).1 , (A).2 , (A).3

7. Matrik Transpose

Transpose matrik A dinotasikan AT atau didapatkan dengan cara menukar elemen baris ke i matrik A menjadi elemen kolom ke i. Bila matrik A berukuran mxn, maka berukuran nxm dan elemen yang ke (i,j) adalah aji ; dapat pula dinyatakan ()ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik ,

A = , =

B = , =

Diketahui matrik A berukuran mxp dan matrik B berukuran pxn , maka elemen ke (i,j) matrik (AB)¢

dinyatakan sebagai berikut :

((AB)¢)ij = (AB)ji

= (A)j. (B).i

= (elemen baris ke i matrik B¢ )(elemen kolom ke j matrik )

= (B¢ )i. ().j

= (B¢ )ij

Jadi : ()¢ = B¢

8. Matriks Transformasi

Transformasi-transformasi di atas (rotasi, refleksi, dilatasi, dan geseran) dapat dilambangkan dengan matriks. Untuk mencari bayangan (hasil transformasi) dari sebuah titik, kita kalikan matriks transformasinya dengan kolom vektor yang merupakan koordinat dari titik tersebut.

D. Operasi Matrik

a. Penjumlahan,

Matrik yang dijumlahkan harus mempunyai ukuran yang sama, yaitu banyak baris dan kolom sama.

A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

Perkalian matrik dengan skalar,

Bila A matrik dan skalar, maka :

A = A= (aij)

b. Perkalian matrik dengan matrik,

Ada dua macam perkalian matrik, yaitu perkalian sebelum (premultiplication) dan perkalian sesudah (postmultiplication), dan hasilnya tidak sama. Matrik A dikalikan dengan cara sebelum dengan matrik B, dituliskan BA; dan dikalikan secara sesudah dituliskan AB. Hasil BA tidak sama dengan AB.

Ukuran matrik yang dikalikan harus sesuai. Bila A berukuran mxn, maka matrik B yang akan dikalikan dengan A harus berukuran nxp, akan menghasilkan matrik baru, misal C berukuran mxp. Elemen ke (i,j) matrik C, yaitu cij, didapatkan dengan cara berikut :

cij = (A)i. (B).j =

Penjabaran : C = A B

cij = (ab)ij

= (A)i. (B).j

= vektor baris ke i matrik A dikalikan vektor kolom ke j matrik B

Matrik A yang memenuhi sifat A A = A2 = A disebut matrik idempoten.

E. Teorema 1

Bila dan skalar, sedang A, B, dan C matrik, maka berlaku beberapa sifat berikut :

(a) A + B = B + A

(b) (A+B) + C = A + (B + C)

(d) ( + ) A = A + A

(e) A – A = A + (–A) = (0)

(f) A(B + C) = AB + AC

(g) (A + B)C = AC + BC

(h) (AB)C = A(BC)

F. Teorema 2

Diketahui dan skalar, sedang A dan B matrik, maka berlaku beberapa sifat berikut :

(a) (A)¢ = A¢

(b) (A¢ )¢ = A

(d) ()¢ = B¢

Bila A berukuran mxm maka juga berukuran mxm. Pada kasus A = , matrik A disebut matrik simetri; dan bila A = -, A disebut matrik skew simetri.

Transpose vektor kolom adalah vektor baris, dan ada matrik khusus (misal matrik Elementer dinotasi-kan E) merupakan hasil kali vektor kolom dengan vektor baris, eij = (E)ij = ei ej¢.

Dalam notasi lengkap,

ei,m e¢j,n menghasilkan matrik E berukuran mxn, dengan elemen yang tidak nol bernilai 1 dan

terletak pada posisi atau elemen ke (i,j).

F.1 Trace

Trace terdefinisikan hanya pada matrik bujursangkar. Bila matrik A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalah jumlah elemen diagonal matrik A,

tr(A) =

Matrik A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matrik AB berukuran mxm. Berlaku :

trace (AB) = trace (BA)

Penjabaran : tr(AB) =

Jadi : tr(AB) = tr(BA)

G. Teorema 3

Diketahui skalar, sedang A dan B matrik. Dengan menganggap kedua matrik ukurannya sesuai bila dikalikan, maka berlaku sifat berikut :

(a) tr(A¢ ) = tr(A)

(b) tr(A) = tr(A)

(d) tr(AB) = tr(BA)

(e) tr(A¢A) = 0 bila dan hanya bila A = (0)

H. Determinan

Sebelum diuraikan perhitungan determinan dengan cara lain lebih dulu akan diuraikan dua pengertian penting, yaitu minor dan kofaktor.

Minor aij, dengan aij elemen matrik A berukuran mxm, dinotasikan mij, adalah determinan matrik beru-kuran (m-1)x(m-1). Matrik ini didapatkan dengan cara menghilangkan baris ke i dan kolom ke j matrik A.

Kofaktor aij dinotasikan Aij dinyatakan dengan persamaan berikut :

Aij = (-1)i+j mij

Determinan matrik A berukuran mxm didapatkan dengan dua cara, yaitu ekspansi menurut baris ke i dan menurut kolom ke j, masing-masing dinyatakan dengan persamaan berikut :

|A| = dan |A| =

Bila elemen dan kofaktor tidak bersesuaian hasil ekspansi akan bernilai 0. Ini berarti, kalau dida-patkan persamaan bernilai 0 sebagai berikut :

= = 0

I. Teorema 4

Bila skalar, sedang A dan B masing-masing matrik berukuran mxm maka berlaku sifat berikut.

(a) | A¢ | = |A|

(b) |A| = m |A|

(d) Bila terdapat satu baris atau kolom matrik A yang semua elemennya bernilai 0 maka |A| = 0.

(e) Bila terdapat dua baris atau kolom matrik A dengan elemen-elemen baris atau kolom yang satu merupakan kelipatan elemen-elemen baris atau kolom yang lain, maka |A| = 0.

(f) Pertukaran elemen di dua baris atau kolom matrik A menyebabkan perubahan tanda |A|.

(g) Bila semua elemen di satu baris atau kolom matrik A dikalikan maka nilai determinannya menjadi kali.

(h) Determinan A tidak berubah bila kelipatan satu baris atau kolom ditambahkan kepada baris atau kolom yang lain.

(i) |AB| = |A| |B|

Teorema 4

Bila skalar, sedang A dan B matrik nonsingular berukuran mxm, maka berlaku :

(a) (A)-1 = -1 A-1

(b) (A¢ )-1 = (A-1)¢

(d) | A-1| = | A |-1

(e) Bila A = diag(a11, a22, … ,amm), maka A-1 = diag(.

(f) Bila A = A¢, maka A-1 = (A-1 )¢

J. Invers

Matrik A berukuran mxm disebut matrik nonsingular bila |A| tidak nol. Matrik mempunyai invers tung-gal, dinotasikan A-1, dan memenuhi sifat berikut,

A A-1 = A-1A = I

1.Metode Matriks Invers

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A⁻¹AB	=	A⁻¹C
B	=	A⁻¹C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A⁻¹=

B =

jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

2. Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =

1	0,375	-0,75	0,125
0	1	-0,4	1,4
0	0	1	4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.

PENUTUP

Demikian yang dapat kami sampaikan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam makalah ini, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap agar para pembaca makalah ini memberikan kritik dan saran yang bisa membangun, kepada penulis demi kesempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang pada umumnya.

Lampiran

Sudut – Sudut Istimewa :

Cos 15° = ⅛ Cos 105° = ⅞ Cos 240° = 2

Cos 30° = ¼ Cos 120° = 1 Cos 270° = 2¼

Cos 45° = ⅜ Cos 150° = 1¼ Cos 300° = 2½

Cos 60° = ½ Cos 180° = 1½ Cos 330° = 2¾

Cos 75° = ⅝ Cos 210° = 1¾ Cos 360° = 3

Cos 90° = ⅞

KRITIK DAN SARAN

Kurangnya referensi pembahasan materi

Terbatasnya pengetahuan dalam pembahasan materi

Informasi mengenai materi tidak tersedia dengan lengkap

Pembahasan yang tidak sempurna

DAFTAR PUSTAKA

Rikunto, S. (1982). Aljabar Vektor Jakarta: Rinekata.

Thales. (1991). Ilmuan Matemmatika Jakarta: Rineka Cipta.

Betrand Russel. (1989). Ilmuan Matematika. Bandung: Jica UPI

Surya, Y. (2006). Matematika itu Asyik 5A. PT. Arman Delta Selaras.

Aristoteles (1992).Matrik . Bandung: Bina Rosdakarya.

Albert Paul Malvino, Ph.D. (1990).Ilmuan vector dan matrik Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Departeman Pertahanan Amerika Serikat. (1962). Rangkaian Aljabar New York: Universitas Pendidikan Amerika Serikat .

To My Blog

Lagu ku

Tentang Saya

My_Traffic

Blogroll

Entri Populer

Arsip

0 komentar:

Posting Komentar